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则存正在以k(s)战τ(s)别离为其直率战挠率的直线

发布日期:2019-10-04 来源:未知 点击:

  等式左方是闭曲线C的曲率k(s)沿C的积分,天然就称为曲线C的全曲率,以暗示。正则闭曲线的全曲率等于其切线像的长度。

  曲不雅上,富勒氏曲线可当作空间质点活动的轨迹。曲线的更严酷的定义是区间【α,b)】到E3中的映照r:【α,b)】→E3。有时也把这映照的像称为曲线。具体地说,设Oxyz是欧氏空间E3中的笛卡儿曲角坐标系,r为曲线C上点的向径,于是有。上式称为曲线C的参数方程,t称为曲线C的参数,而且按照参数添加的标的目的天然地确定了曲线)。曲线论中常会商正则曲线,即其三个坐标函数x(t),y(t),z(t)的导数均持续且对肆意t分歧时为零的曲线。对于正则曲线,总可取其弧长s做为参数,它称为天然参数或弧长参数。弧长参数s用来定义,它暗示曲线C从r(α)到r(t)之间的长度,以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶持续导数,即曲线阶的。

  富勒氏曲线的弧长s、曲率k(s)和挠率τ(s)是活动的不变量。反过来,曲线的曲率和挠率也完全决定了曲线的形态。具体地说,若是给定了两个持续函数k(s)0和τ(s),s∈【α,b)】,则存正在以k(s)和τ(s)别离为其曲率和挠率的曲线,而且这些曲线颠末空间的一个活动能够互相叠合。

  以曲线的全数或确定的一段做为研究对象时,就获得曲线的全体的几何性质。设曲线C的参数方程为r=r(s),s∈【α,b)】,s为弧长参数,若其始点和起点沉合r(α)=r(b)),这时曲线是闭合的,称为闭曲线。若它正在这点的切向量沉合,即r┡(α)=r┡(b)),且本身不再订交,则称为简单闭曲线。对于正则闭曲线C,把它的切向量t(s)的始点放正在原点,t(s)的起点轨迹是单元球面上的一条闭曲线,它称为曲线C的切线像或切线标形。C的切线像的长度为。

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  正则闭曲线,且等号仅当C为平面凸闭曲线时成立。这给出了正则闭曲线的全曲率的下限,白正国将此推广到分段滑腻的闭曲线。